如何判断一个三角形是否完全位于另一个三维空间中的三角形内部？

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在三维空间中判断三角形重叠

在三维空间中，有两个三角形abc和def，如何判断三角形abc是否在三角形def中，即三角形abc的三个顶点是否全部位于三角形def所在的平面的一侧，并且在三角形def的边界以内？

算法步骤：

1. 判断共面性：

   • 计算三角形def的法线向量：n_def = (e - d) × (f - d)。
   • 如果三角形abc的任意三个顶点到三角形def的三个边的法线向量点积都小于等于0，则三角形abc共面于三角形def。

2. 判断内包关系：

   • 对于三角形abc的每个顶点，判断其是否在三角形def的内部。

     • 计算顶点到三角形def三条边的向量，并将其投影到平面n_def上。
     • 再判断投影得到的向量是否全部满足平行于任意边界边且同向。

java实现：

import java.util.Arrays;

public class TriangleInTriangle {

    public static void main(String[] args) {
        // 三角形ABC的顶点坐标
        double[][] abc = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};

        // 三角形DEF的顶点坐标
        double[][] def = {{11, 12, 13}, {14, 15, 16}, {17, 18, 19}};

        // 计算三角形DEF的法向量
        double[] n_def = crossProduct(subtractVectors(def[1], def[0]), subtractVectors(def[2], def[0]));

        // 判断共面性
        boolean isCoplanar = true;
        for (double[] point : abc) {
            if (dotProduct(subtractVectors(point, def[0]), n_def) > 0) {
                isCoplanar = false;
                break;
            }
        }

        // 判断内包关系
        boolean isInside = true;
        for (double[] point : abc) {
            double[] projected = subtractVectors(point, def[0]);
            double[] edge1 = subtractVectors(def[1], def[0]);
            double[] edge2 = subtractVectors(def[2], def[0]);
            double dot1 = dotProduct(crossProduct(projected, edge1), n_def);
            double dot2 = dotProduct(crossProduct(projected, edge2), n_def);
            if (dot1 * dot2 < 0 || dot1 == 0 || dot2 == 0) {
                isInside = false;
                break;
            }
        }

        // 输出结果
        System.out.println("三角形ABC是否在三角形DEF中：" + (isCoplanar && isInside));
    }

    private static double[] crossProduct(double[] u, double[] v) {
        return new double[]{u[1] * v[2] - u[2] * v[1], u[2] * v[0] - u[0] * v[2], u[0] * v[1] - u[1] * v[0]};
    }

    private static double dotProduct(double[] u, double[] v) {
        return Arrays.stream(u).map(c -> c * c).sum() * Arrays.stream(v).map(c -> c * c).sum();
    }

    private static double[] subtractVectors(double[] u, double[] v) {
        return new double[]{u[0] - v[0], u[1] - v[1], u[2] - v[2]};
    }
}

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